Evènement pour le groupe Petite École de Combinatoire


Date 2011-10-21  10:45-11:45
TitreL'Ansatz cellulaire (5) 
RésuméDans un premier temps, l'Ansatz cellulaire est une méthodologie permettant, par une approche cellulaire sur un réseau carré, d'associer des objets combinatoires (les Q-tableaux) à certaines algèbres quadratiques Q définies par relations et générateurs. Cette notion est équivalente à la notion d'« automate planaire » ou de « réécritures planaires ». L'exemple de base est l'algèbre définie par la relation UD = DU + Id (ou algèbre de Weyl-Heisenberg, bien connue en physique). Les Q-tableaux associés sont les permutations. Un deuxième exemple est l'algèbre définie par la relation DE = qED + E + D qui est à la base de la résolution en physique des systèmes dynamiques du modèle du PASEP (partially asymmetric exclusion process) avec le calcul des probabilités stationnaires. Des Q-tableaux associés ont fait récemment l'objet de nombreuses études combinatoires sous le nom de « tableaux alternatifs », « permutation tableaux » ou encore « tree-like tableaux ». Une autre algèbre, ou algèbre du modèle « 8-vertex », permet de retrouver les fameuses « matrices à signes alternants », les « partitions planes », les « configurations de chemins » ne se coupant pas ou encore des « pavages » sur réseaux planaires. Dans un deuxième temps, l'Ansatz cellulaire permet la construction « guidée » de bijections entre les Q-tableaux et d'autres objets combinatoires, dès que l'on a une « représentation » par opérateurs combinatoires de l'algèbre quadratique Q. L'exemple de base pour l'algèbre de Weyl-Heisenberg est la classique correspondance RSK (Robinson-Schensted-Knuth) entre permutations et paires de tableaux de Young. Pour l'algèbre du PASEP on obtient une bijection entre tableaux alternatifs et permutations. La théorie combinatoire des polynômes orthogonaux joue un rôle important, ainsi que la théorie des « histoires de fichiers » introduite en informatique pour l'analyse du coût intégré des structures de données. Nous terminerons par des extensions et problèmes ouverts, en particulier pour l'algèbre du modèle « 8-vertex ». Cf. http://web.me.com/xgviennot/Xavier_Viennot/petite_école.html.  
Lieu076 
OrateurXavier Viennot 



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