Evènement pour le groupe Combinatoire Énumérative et Algébrique


Date 2014-12-12  10:45-11:45
TitreLa méthodologie de l'ansatz cellulaire appliquée aux tableaux du PASEP 1/2 
RésuméJe montrerai le lien entre les exposés récents au GT de Patxi Laborde Zubieta et d'Olya Mandelshtam et la théorie de l'ansatz cellulaire, théorie qui avait l'objet d'une petite école en 2011/12. Je ferai un rappel pédagogique sur quelques traits essentiels de cette théorie : comment associer un tableau (appelé Q-tableau) à une algèbre quadratique Q d'un certain type, comment définir une notion d'algèbre réciproque. Les tableaux alternatifs et les tableaux boisés apparaissent comme les Q-tableaux associés à l'algèbre du PASEP (définie par la relation DE=ED+E+D) et à son algèbre réciproque. Rappelons que le PASEP (partially asymmetric exclusion process) est un modèle très célèbre en physique des systèmes dynamiques et les tableaux associés permettent d'interpréter les probabilités stationnaires du modèle. La théorie générale de l'ansatz cellulaire donne une méthode pour construire des bijections entre ces tableaux et d'autres objets combinatoires à partir d'une représentation combinatoire de l'algèbre Q. Dans le cas de l'algèbre du PASEP, je rappellerai une telle bijection entre les tableaux alternatifs et les permutations. Cette bijection permet de retrouver bijectivement le résultat de Patxi sur le nombre de coins occupés dans les tableaux boisés de taille n. Dans un deuxième exposé, je rappellerai une autre méthode permettant de construire des bijections faisant intervenir ces Q-tableaux, appelée « démultiplication » des équations définissant l'algèbre quadratique Q. Dans le cas de l'algèbre du PASEP, nous obtenons une (nouvelle) bijection entre les tableaux alternatifs et des paires de mots. Cette bijection mériterait d'être étudiée. Dans le cas des tableaux alternatifs de Catalan (associée au TASEP) cette bijection devient la bijection introduite dans l'exposé d'Olya entre ces tableaux de Catalan et certaines paires de chemins. Enfin, si le temps le permet, je rappellerai que dans le cas de l'algèbre définie par la relation UD=DU+Id, certains Q-tableaux associés sont les (graphes de) permutations et une bijection associée à une représentation combinatoire est l'algorithme RSK (Robinson-Schensted-Knuth). De plus la méthode de démultiplication des équations conduit naturellement à la même correspondance RSK.  
Lieu076 
OrateurXavier Viennot 



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